01　绪言开yun体育网

无人不晓，数学的一个垂危特色便是概述．其实从小学开动，大概说，东说念主类发明发展的起先，数学便是概述的．最简便的计数：最早的结绳记数，便是一种概述：无论是个东说念主，个苹果，只老虎，齐是用暗示．

概述是数学的上风．举例，咱们只需要学习，而不需要把个东说念主个东说念主个东说念主、个苹果个苹果个苹果等等齐学一遍．

02　公理化

“公理化”是数学的概述的一种高等时势．公理化是从少数基本假定和功令启程，逻辑地构建起所有表面．有技巧咱们会在某个数学对象取得某个论断，这个论断仅仅由这个数学对象的一些性质就不错施展出来，那么温存这些性质的其他数学对象，也不错平行地得出相应的论断．

这是不是有点像“个东说念主+个东说念主个东说念主”，相应的论断便是“个苹果个苹果个苹果”？淌若把这种情况也概述成访佛于""这么的论断，便是数学中的公理化措施．

底下咱们以向量为例，简便意志一下公理化措施．

03　几何向量及概述化

张开剩余79%

几何向量有这些性质(暗示实数，暗示向量)：

；

；

存在零元素，使得对每一个向量齐建立；

每一个向量齐存在一个负元素,使得， 是指(3)中的零元素；

；

；

；

．

几何向量有一个内积运算，内积运算温存以下性质：

；

；

,且唯有其时，才会等于．

这些性质对于几何向量齐是很显著的．接下来，概述的操作来了：

淌若有某个围聚，它的元素(及运算)也温存到，那么这个围聚就叫作念(实)向量空间，这些元素也叫作念向量．淌若还能温存到，那么这个围聚就叫作念内积空间．(淌若这个内积空间加一个叫作念"完备"的要求的话，便是大名鼎鼎的空间．)

在这个界说之下，几何向量是向量，但向量不一定是几何向量．

举个例子，函数也不错是向量．不？“函数”和阿谁“有大小有标的的量”八竿子打不着的算计，能是一趟事吗？然而淌若你把上头到中的和看作是函数，还真便是温存的．是以说，函数还的确不错是一种向量．

那么，函数空间是不是内积空间呢？这个技巧，咱们需要先界说一个内积运算．咱们把函数的界说域局限在一个闭区间上，为了便于筹谋，假定函数齐是相接的．这个技巧，咱们界说两个函数的内积：

这么的话，到亦然很容易考据温存的．举例，便是

是以说，函数空间也不错看作是一个内积空间．

04 不等式

看到这里，可能许多东说念主会思，把向量的一堆基人性质附会到函数那儿去，花里胡梢的小数实用兴趣齐莫得．这就要回到著述一开动所说的：有技巧咱们会在某个数学对象取得某个论断，这个论断仅仅由这个数学对象的一些性质就不错施展出来，那么温存这些性质的其他数学对象，也不错平行地得出相应的论断．

举例：我用到和到施展不等式．

在几何向量中，由很容易就证出，其中暗示向量的模．其实，淌若只用前边的性质到和到，亦然不错证出这个不等式的．底下给出爽朗的施展，防御，因为只用到到和到，是以提到的向量不错是几何向量，也不错是其他概述的向量．

略证：淌若有一个是零向量，论断是建立的，咱们不错假定它们齐不是零向量．

最初，不错施展，最多唯有一个实数能使．淌若存在的话,咱们不错说共线．这一论断不难施展，淌若有需要的话，不错在这里划线．

然后，洽商对于的方程．字据，淌若共线的话，这个方程有且唯有一个解，淌若不共线，这个方程就无解．

利用化简，这个方程不错化为

这是一个二次方程，字据前边的分析，这个方程最多唯有一个解，是以判别式，即，证毕．

防御，这个施展仅依赖于到和到,也便是说，对于各式各类的向量齐建立，这便是不等式．看常规子，咱们将其应用于函数空间，就取得

很神奇有莫得？咱们仅仅考据了积分运算温存简便的性质到和到，然后再也莫得效到积分运算的手段，却取得了一个积分不等式，况兼这个不等式在物理和计较机等限度有庸俗应用．这便是公理化的力量，数学的概述之好意思．

05　终末

数学上还有多数的例子能温存这些性质，不错思象，不等式不错毫无压力地平移到相应的向量空间去．

以上是向量的例子，而这种公理化措施在当代数学中多数诳骗，概述之好意思，遍布数学寰宇的每一个旯旮．

在撰写论文《》时，笔者用到了上头界说的函数内积的不等式．有风趣不错了解细目。

作 者 ： 陈 日 辉

编 辑 ： 陈 日 繁

物理需要用到数学开yun体育网，数学充满概述好意思

发布于：广东省